Qu’est-ce qu’un espace euclidien?

L’espace euclidien, par opposition à un espace non-euclidien (que nous aborderons juste après) est un espace que je qualifierai personnellement d’intuitif (en effet, dans la majorité des cas, notre esprit se place spontanément dans un espace euclidien, on comprendra plus tard pourquoi) . Pour autant, nous verrons aussi que les espaces euclidiens ne sont qu’une infime partie des espaces « disponibles ». (J’appelle espace disponible, l’ensemble infime des ensembles que nous avons découverts auquel s’ajoutent l’immense majorité des ensembles restant à découvrir. )

Le plus commun des exemples d’espace euclidien est la feuille de papier posée à plat. On peut y dessiner des figures et y définir une géomètrie. La géométrie de la feuille de papier est appelée géométrie euclidienne. Un espace euclidien est par extension une généralisation de la feuille de papier.

Mais n’allons pas trop vite en besogne. Et commençons, car la réponse n’est pas totalement dans la question, par un peu d’histoire : d’où vient cette notion d’espace euclidien?

A. Bref historique de la notion.

A.1 Hippocrate de chios.

Je disais que la réponse n’est pas forcément dans la question. Effectivement, notre cher Euclide s’est inspiré largement des travaux de cet Hippocrate (à ne pas confondre avec son fameux homonyme grec, inspirateur du serment que tout medecin doit accepter) qui a vécu au Ve siécle avant Jc.

Selon les sources que possédait Proclus Diadochus, historien des mathématiques grec du Ve siecle après Jc, Hippocrate de chios, dans sa quête de la quadrature du cercle (qu’il ne savait pas vouée à l’echec, nous y reviendrons), fut le premier à compiler des éléments, nom que l’on donnait alors aux précis de géometrie. Euclide s’en inspira largement pour ecrire les siens, qui devinrent l’ouvrage de base de la géometrie dite euclidienne.

A.2 Les éléments d’Euclide.

Disons le une fois pour toutes. Rien n’atteste l’existence d’une personne nommée Euclide. Rien n’atteste le contraire non plus.

Les mathématiciens contemporains, connaissent tous l’oeuvre majeure de Nicolas Bourbaki. Pourtant Bourbaki n’est pas une personne. C’est un collectif.

Beaucoup pensent qu’Euclide pourrait bien être la dénomination d’un collectif de mathématiciens de l’époque.

Finalement, si au point de vue historique cela a de l’importance, au point de vue purement mathématiques, cela n’en a pas. Collectif ou non, les élements d’Euclide ont, pendant plus de 2000 ans, forgés la pensée mathématique.

Notre intérêt ici est de regarder la géometrie euclidienne telle qu’énoncée par Euclide. Ouvrons donc ses éléments.

B. La géometrie euclidienne.

Par désir de vulgarisation, nous ne nous attarderons pas sur les notations et les concepts tels qu’ils étaient connus au temps d’Euclide, mais nous emploierons une formulation moderne, compréhensible par tous.

Etymologiquement, la géometrie est la mesure de la Terre. La Terre étant considérée comme plane aux temps d’Euclide, la géometrie euclidienne est appelée aussi géometrie plane.

B.1 Les définitions

Les notions de la géometrie euclidienne sont, comme je le disais en introduction, très intuitives. Ce sont le point, la droite et le plan. Rappelons-nous notre feuille de papier du début.

Le point est le plus petit élément que l’on puisse trouver en géomètrie: il n’a aucun épaisseur, aucun volume, on peut dire qu’il est infiniment petit. La marque du crayon sur la feuille est déjà beaucoup trop grosse pour représenter un point, mais elle en est le symbole. Une étoile dans le ciel donne une idée du point.

Si nous dessinons deux points sur notre feuille de papier et que nous traçons un chemin rectiligne (sans aucun virage) entre ces deux points, nous formons un segment. Si nous prolongeons à l’infini ce segment des deux côtés, nous obtenons la droite.

Deux droites sont dites paralléles si elles n’ont aucun point en commun.

Le plan est plus difficile à définir simplement. Disons pour l’instant que notre feuille de papier est une partie du plan. Le plan est le prolongement à l’infini de notre feuille. Un plan contient au minimum deux droites distinctes.

Si on dessine un point sur notre feuille, tout les points distants de ce point d’une distance fixe forme un cercle. C’est une courbe plane que l’on a habitude d’appeler « rond ».

L’angle, comme le plan, est une notion intuitive délicate à définir simplement. Si nous traçons deux droites qui se coupent sur notre feuille. Ces droites découpent notre feuille en 4 parties. Au niveau du point d’intersection les droites se divisent et forment 4 angles, qui sont les inclinaisons mutuelles.

Quand les 4 angles ainsi formés sont égaux, ont les appelle des angles droits.

B.2 Les 5 postulats de la géometrie euclidienne

Après les définitions, Euclide pose 5 postulats. Ce sont, en langage courant :

1. Étant donnés deux points A et B, il existe une droite passant par A et B.

2. Tout segment [AB] est prolongeable en une droite passant par A et B.

3. Pour tout point A et tout point B distinct de A, on peut décrire un cercle de centre A passant par B.

4. Tous les angles droits sont égaux entre eux.

5. Par un point extérieur à une droite, on peut mener une parallèle et une seule à cette droite.

Le 5e postulat est plus connu sous le nom d’axiome des parallèles.

C. La notion de dimension.

Pour l’instant nous avons vu, en suivant Euclide, la notion de point, de droite et de plan. Ce sont respectivement des objets de dimension 0, 1 et 2.

Vous connaissez tous la dimension 3 ( l’espace). Einstein a popularisé la dimension 4 ( l’espace-temps). Les dernières théories quantiques parlent des 11 dimensions de l’univers, dont 7 enroulées. Mais nous sommes loin de maitriser totalement ces notions pour l’instant..

Pour l’instant, nous ne pouvons pas aller beaucoup plus loin dans la définition de la notion de dimension sans généraliser ce que nous venons de définir.

D. L’espace euclidien

Nos années de collège sont immanquablement jalonnées des notions que nous avons vues dans les 3 parties précédentes. Tout le monde sait, ou au moins a su, ces notions. Quel est l’intérêt de faire un Neme résumé?

Outre le fait que rafraichir sa mémoire sur les bases n’a jamais fait de mal à personne, la question posée en exergue pour être assimilée par tous l’exige.

En effet nous allons aborder maintenant la notion d’espace euclidien, qui n’est finalement que la généralisation de ce que nous venons de voir à des dimensions supérieures

Avez-vous noté l’analogie de construction entre les différents éléments?

Pour construire un élément de dimension 1 (la droite), nous avons besoin de et seulement de 2 éléments initiaux de dimension 0 (le point). Mais pourtant l’élément de dimension 1 généré posséde une infinité d’élément de dimension 0.

Pour construire un élément de dimension 2 (le plan), nous avons besoin de et seulement de 2 éléments initiaux de dimension 1 (la droite). Mais pourtant l’élément de dimension 2 généré posséde une infinité d’élément de dimension 1.

Pour un élément de dimension 3, la continuité (dans le sens d’analogie) de construction est évidente. Un espace de dimension 3 est généré par deux plans initiaux. Mais évidement notre feuille de papier ne nous sert plus. Nous pouvons encore, à la limite, nous servir d’un cube pour imaginer. Mais quid des dimensions supérieure?

Nous avons besoin d’autres outils mathématiques pour appréhender ces géometries non intuitives.

On va introduire la notion d’espace euclidien. Qui est, comme on le disait une généralisation de ce qu’on a vu jusqu’à présent.

Pour être encore plus clair, même si cela est déjà bien clair, la géometrie euclidienne du plan telle que nous la pratiquons depuis notre plus tendre enfance, et telle qu’on l’a résumée dans cet article n’est qu’un particulier d’espace euclidien.

Si je vous dit tout de go que la généralisation voulue se doit d’être un espace vectoriel muni d’un produit scalaire, vous me suivez? Peut-être… Mais la plupart d’entre vous me demanderons ce qu’est ce charabia… Et je les comprends…

Et certains esprit me demanderons : et ces fameux espaces non- euclidiens? Là, je repondrai de prendre patience. Les espaces non-euclidiens étant les espaces qui ne sont pas euclidiens, ne faut-il pas définir en amont les espaces euclidiens?

Voir donc la seconde partie ici..

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2 réflexions sur “Qu’est-ce qu’un espace euclidien?

  1. Michel Bourassa dit :

    Une certaine finesse des tournures de phrases, un humour délicat, mais beaucoup trop de mots.

    • Résistons! dit :

      Effectivement.

      C’est en même temps le but avoué. car trouver des définitions concises et très mathématiques des notions mathématiques, ca se trouve facilement partout sur le net et dans la littérature.

      Je cherche ici à rendre attrayant les concepts mathématiques pour ceux qui aiment les mots et sont peut-être rebuté par la concision mathématique! 🙂

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